مجموعه

مجموعه set

مجموعه به معنای گرد آورده شده است و در ریاضی دسته یا گروهی از اشیاء یا موجودات که اعضای آن دو بدو متمایز و مشخص باشند .

مثال Å مجموعه اعداد طبیعی

مثال Å مجموعه حروف الفبای فارسی

مثال Å مجموعه ی بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسال ایران در سال 85

زیر مجموعه : (sub set)

دو مجموعه A و B را در نظر می گیریم. B را زیر مجموعه A گویند هر گاه هر عضو B عضو A باشد.

مثال Å

مجموعه ی اعداد زوج زیر مجموعه ی اعداد طبیعی

مجموعه ی حروف بی نقطه ی الفبای فارسی زیر مجموعه مجموعه حروف الفبای فارسی

مجموعه ی دروازبانهای تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85 زیر مجموعه مجموعه بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85

مجموعه { 1،2 } B= زیر مجموعه { 1،2،7 }A=

این مطلب را به صورت B Ì A می نویسیم و می خوانیم : B زیر مجموعه ی A است .

مجموعه تهی (empty set = null set)

تهی، به معنی خالی و مقابل کلمه پر می باشد و در ریاضی مجموعه ای را که عضو ندارد ، مجموعه تهی می نامیم .مجموعه تهی را با Æ (بخوانیم فی) نشان می دهیم .

A= { (تلفن) ، (هویج) ، (ساعت) ، (مداد) ، (شمع) }

B= { (قیچی) ، (کتاب ) ، (عینک) ، (پرتقال) }

با توجه به تصویر فوق هر چند رابطه ی درست که می توانید بیان کنید مانند :

A Ë B

A Ì M

ساعت Î A

1- مجموعه های مساوی :

دو مجموعه A و B را مساوی گویند هر گاه تمام اعضای A عضو B و تمام اعضای B عضو A باشند .

به بیان ریاضی می توان گفت : « اگر A Ì B و B Ì A باشد ، آنگاه A=B »

مثالÅ مجموعه { 1،2،3،4 }A = با مجموعه مساوی هستند .

2- مجموعه های معادل :

دو مجموعه در صورتی با هم معادل هستند که تعداد اعضای آن ها با هم برابر باشند .

مثال Å مجموعه ی { ب،د،ج } M = با مجموعه ی { 1،2،3 } N = معادل هستند .

3- مجموعه متناهی یا نامتناهی :

اگر تعداد اعضای یک مجموعه محدود باشد ، به آن مجموعه متناهی گویند .

اگر تعداد اعضای یک مجموعه نامحدود باشد ، به آن مجموعه نا متناهی گویند .

مثال Å مجموعه ی { 9،...،1،2،3 } A = یک مجموعه متناهی است و مجموعه ی { ....،15 ،10 ،5 } B = یک مجموعه نامتناهی می باشد .

þ تست1 :

اگر مجموعه ی { A = { ۲,(x+۲y),۴ و { (B = { ۴,۵ , (x-y با هم مساوی باشند در این صورت کدام گزینه درست است ؟

د)

ج)

ب)

الف)


þ تست2 :

اعضای کدام یک از گزینه های زیر تشکیل یک مجموعه را می دهند ؟

الف) دانشجویان افسرده

ب) فصل های سال

ج) جوانان شیک پوش

د) هر سه مورد درست است .


þ تست3 :

کدام دسته از مجموعه های زیر با هم برابرند ؟

د) Æ و { }

ج) {Æ و x} و { x }

ب) Æ و { Æ }

الف) { {xو{x } و{ x }


þ تست4 :

اگر { {{A= { b,{b},{b,{b باشد ، کدام گزینه نادرست است ؟

د) { b,{b} }Î A

ج) A Ì ا{ b,{b} }

ب) { {b} } Ì A

الف) b Ì A

4) تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه :

تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه n عضوی از دستور 2n بدست می آید .

مجموعه

تمام زیر مجموعه ها

{ a }

{},{a}

{ a,b }

{},{a},{b},{a,b}

{ a,b,c }

{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

-

-

با توجه به جدول بالا می توان رابطه ی بین تعداد عضوهای یک مجموعه و تعداد زیر مجموعه ها را مشاهده کرد .

تعداد عضو

1

2

3

... n

تعداد زیر مجموعه

2

2×2

2×2×2

...

n)مرتبه)2×...×2×2

عدد تواندار

21

22

23

...

2n

مثال Å تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه 10 عضوی 210 می باشد . به عبارت دیگر مجموعه 10 عضوی 1024 زیر مجموعه دارد .

þ تست5 :

مجموعه ای 32 زیر مجموعه دارد این مجموعه چند عضو دارد ؟

د )6

ج )5

ب ) 4

الف )3


þ تست6 :

اگر 1 عضو به اعضای مجموعه A اضافه کنیم تعداد زیر مجموعه های آن چه تغییری می کند ؟

الف) 4 برابر می شود

ب) 2 واحد به آن اضافه می شود

ج) 1 واحد به آن اضافه می شود

د) دو برابر می شود

5) مجموعه ی محض :

تمام زیر مجموعه های هر مجموعه به غیر از خودش زیر مجموعه ی محض آن مجموعه نامیده می شود.

تعداد زیر مجموعه های محض برابر است با 2n و n تعداد عضو های مجموعه است .

Å مثال تعداد زیر مجموعه های محض یک مجموعه ی10 عضوی برابر است با : 1023 = 1-1024 = 1-210

þ تست7 :

مجموعه ی { {4،4}،{4} } A= چند زیر مجموعه ی محض دارد ؟

د ) 4

ج )3

ب ) 2

الف )1

6)تعداد زیر مجموعه های :

الف: تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ، n تا می باشد .

ب: تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ، می باشد . (2 n )

ج: تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ،، می باشد. (3 n )

Å مثال مجموعه یA= { a,b,c,d } را در نظر بگیرید.

تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4

تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از مجموعه ی A برابر است با 6

تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4

Å مثالمجموعه { موز ، هندوانه ، پرتقال ،گیلاس } A= را در نظر بگیرید .

حالت اول : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب فقط یکی از میوه ها را برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن داریم ؟

جواب : 4 حالت

پس تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی4 عضوی 4 تا می باشد .


حالت دوم : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب دو تا برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن بوجود می آید ؟

جواب : 6 حالت

پس تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی 4 عضوی برابر 6 تا می باشد .


حالت سوم : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب سه تا برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن داریم ؟

جواب : 4 حالت

پس تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی 4 عضوی برابر 4 تا می باشد .

þتست 8 :

مجموعه ی {1،2،3،4،5}A= چند زیر مجموعه ی دو عضوی دارد ؟

د) 10

ج) 15

ب) 20

الف) 25


þتست 9 :

مجموعه ی { 2،3،5،7،11،13 }A= چند زیر مجموعه دارد که هر کدام لااقل دو عضو داشته باشند .

د) 64

ج) 57

ب) 59

الف) 32


þتست 10 :

اگر تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه (1+k) عضوی ، 24 واحد کمتر از تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه

(3+k) عضوی باشد k کدام است ؟

د) 4

ج) 3

ب) 2

الف) 1

گزارش تخلف
بعدی