دستگاه شمارش

دستگاه شمارش : Numeration system

برای شمارش اشیاء دسته بندی هایی انجام می شود . معمولی ترین روش برای شمارش اشیاء دسته بندی به صورت یکی ، ده تایی ، صدتایی ، هزارتایی و ... می باشد این نمایش ارزش مکانی اعداد را «دستگاه شمارش دهدهی » می نامند .

در طراحی سیستم های رقمی و رایانه ای و رمز گزاری برنامه ها برای نمایش ارزش مکانی رقم ها از دستگاههای شمارش دیگری هم استفاده می شود ، مانند دستگاه شمارش دو دویی که یکی ، دوتایی ، چهارتایی ، هشت تایی و .... برای نمایش ارزش مکانی رقم ها استفاده می شود .

مثال Å عدد 313 در دستگاه شمارش دهدهی به صورت 3 صدتایی ، ا ده تایی و 3 یکی می باشد این عدد را به صورت 313 یا 10(313) می نویسیم و می خوانیم « سیصدو سیزده »

صدتایی

ده تایی

یکی

3

1

3

عدد 1101 در دستگاه شمارش دو دویی به صورت زیر می باشد

هشت تایی

چهارتایی

دوتایی

یکی

1

1

0

 1

این عدد را به صورت 2(1101) می نویسیم و می خوانیم «یک،یک،صفر،یک در مبنای دو»

مبنا : Base

مبنا پایه و اساسی است که در دستگاههای شمارش اعداد برای دسته بندی در نظر گرفته می شود .

مثال Å یک شرکت دارو سازی برای دسته بندی قرص های تولید شده در نظر دارد هر 10 عدد قرص را در داخل یک بسته قرار دهدد و هر 10 بسته را داخل یک کار تن 100 تایی و ...

پایه و اساسی که در این شرکت دارو سازی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است بر مبنای 10 می باشد .

مثال Å یک شرکت تولید کننده ی توپ تنیس روی میز برای دسته بندی توپ های تولید شده در نظر دارد هر 6 عدد توپ را در داخل یک بسته قرار دهد و هر 6 بسته را داخل یک کارتن 36 تایی و ...

پایه و اساسی که در این شرکت تولید ی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است برمبنای 6 می باشد .

مثال Å پایه و اساسی که در ساعت برای زمانبندی استفاده می شود را درنظر بگیرید .

کاربرد ریاضی در زندگی

هر 60 ثانیه برابر یک دقیقه است و هر 60 دقیقه برابر یک ساعت (ثانیه3600 = 60×60)

دانش آموز عزیز : اگر شما یکی از ریاضی دانان بزرگ بودید ، برای زمان چه مبنایی به کار می برید؟ یک شبانه روز در طراحی شما چند ساعت محسوب می شود ؟

این طراحی چه تأثیراتی روی کارهای روز مره مردم می گذارد ؟

مثال Å با دسته بندی سه تایی 17 کلید را دسته بندی کنید و نتیجه را در مبنای سه بنویسید .

نه تایی

سه تایی

یکی

1

2

2

3(122) = 17

مثال Å عددی در مبنای 5 به صورت 5(214) نوشته شده است . آن عدد کدام است ؟

52

51

50

بیست و پنج تایی

پنج تایی

یکی

2

1

4

59 = (1×4) + (5×1) + (25×2)

þ تست1:

عدد 59 در مبنای 3 برابر است با :

د ) 3(2012)

ج) 3(210)

ب) 3(212)

الف) 3(2102)

1- اگر عدد abcde در مبنای x نوشته شده باشد برای نوشتن این عدد در مبنای 10 به صورت زیر عمل می کنیم

x4

x3

x2

x1

x0



x4

x3

x2

x

1

a

b

c

 d e

2- در عدد نویسی به مبنای a مجازیم از ارقام 0،1، ....، 1- a استفاده کنیم .

مثال Å در مبنای 10 ، از ارقام 0، 1، 2، 3، 4، 5،6، 7، 8، 9 می توان استفاده کرد .

þتست2:

عددی در مبنای 4 به صورت 3ba و در مبنای 5 به صورت 2ab نوشته شده است ، a,b کدام است ؟

þتست3 :

بزرگترین عدد سه رقمی در مبنای 5 کدام گزینه می باشد؟

الف) 5(444) ب) 5(423) ج) 5(555) د) 5(543)

þتست4 :

کوچکترین عدد چهار رقمی در مبنای 5 کدام گزینه است ؟

الف) 135 ب) 5(1111) ج) 125 د) 5(5000 )

3- تبدیل مستقیم مبناها :

مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید . 8( ) = 2(1010)

حل : مراحل انجام کار به ترتیب زیر می باشد . 8 ( ? ) = 10( ? ) = 2(1010)

ابتدا نمایش عدد 2(1010) را در مبنای 10 بدست می آوریم ، سپس نمایش عدد 10 را در مبنای 8 می نویسیم .

۲۳

۲۲

۲۱

20


هشت تایی

چهارتایی

دوتایی

یکی

1 0 1 0

10=(2×1)+(8×1)

برای تبدیل مستقیم مبنا ها روش هایی وجود دارد که تبدیل مبنا ها را به طور مستقیم امکان پذیر می سازد . برای آشنایی با این روشها به نکات زیر توجه کنید .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 4 ، عدد را از سمت راست دو رقم دو رقم جدا کنید و دسته ی دو رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .

مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید : 4( ) = 2(10110)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 8 عدد داده شده را از سمت راست سه رقم سه رقم جدا کنید و هر دسته ی سه رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 8 نوشته می شود.

مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید : 8( ) = 2(1010)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 4 به مبنای 2 هر رقم را به صورت یک عدد دو رقمی در مبنای 2 بنویسید (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید ). از کنار هم نوشتن این اعداد دو رقمی عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .

مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید : 2( ) = 4(321)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم از مبنای 8 به مبنای 2 هر رقم عدد داده شده را بصورت یک عدد سه رقمی در مبنا 2 بنویسید . (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید) از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 2 نوشته می شود .

مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید : 2( ) = 8(327)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

þتست5 :

در عبارت زیر مقدار x برابر است با :

(۱۰۰۱۱)۲=(۱۰۳)x

د) 8

ج) 4

ب) 10

الف) 5


þتست6:

عدد 8(537) برابر کدام گزینه است ؟

د)2(101011111)

ج) 2(101011110)

ب) 2(10111111)

الف) 2(11011111)

4-جمع و تفریق مبناها :

با توجه به اینکه در عدد نویسی a ، مجازیم از ارقام 0و 1و 2و ... و 1 - a استفاده کنیم .

جمع و تفریق مبناها را می توان به صورت مستقیم انجام داد .

1- جمع مبناها

میدانیم: ? = 39 + 156

حل :


صدتایی

ده تایی

یکی

+

1

5

3

6

9

1

9

5

حالا با توجه به جدول ارزش مکانی مبنا 2 حاصل جمع مقابل را بدست آورید . 2(?) = 2(11) + 2(10)

چهارتایی

دوتایی

یکی

+

1

1

0

1

1

0

1

2- تفریق مبناها

میدانیم: 264 = 279 - 543

حل :


صدتایی

ده تایی

یکی

-

5

2

4

7

3

9

2

6

4

حالا با توجه به جدول ارزش مکانی 2 حاصل تفریق زیر را بدست آورید ؟ 2 (?) = 2(111)-2(1011)

هشت تایی

چهارتایی

دوتایی

یکی

-

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

 0

توضیح اینکه 1 عدد هشت تایی برابر است با 2 عدد چهارتایی

þتست7 :

حاصل عبارت مقابل کدام گزینه است ؟

(? )= 6(51) + 6(42) + 6(123)

د) 6(400)

ج) 6(300)

ب) 6(410)

الف) 6(103)

þ تست8 :

حاصل عبارت زیر برابر است با :

? = 7(156) – 7(243)

د) 7(113)

ج) 7(150)

ب) 7(45)

الف) 7(54)


þتست9 :

عدد 4(233) برابر کدام گزینه است ؟

د) 5(24)

ج) 5(43)

ب) 5(142)

الف) 5(241)

þتست10:

در عبارت مقابل مقدار x برابر است با : xا(21) =2(10011)

د)5

ج) 9

ب) 4

الف) 8


þتست11:

حاصل جمع عدد 4 با عدد 4(1201) کدام گزینه است ؟

د) 4(1203)

ج) 4(1213)

ب) 4(1231)

الف) 4(1211)


þتست12 :

نمایش عدد 1+ 24 + 25 در مبنای 2 کدام است ؟

د) 2(110001)

ج) 2(10101)

ب) 2(11001)

الف) 2(10011)

þ تست13 :

در تساوی مقابل 30 =(23)x+ (۳۲)x عدد x کدام است ؟

د) 2

ج) 5

ب) 6

الف) 3

گزارش تخلف
بعدی